Der Sinussatz
Dreieck mit Höhe auf c

In dem nebenstehenden Dreieck gilt

\frac{h_c}{b} = \sin \alpha \qquad \text{ und } \qquad \frac{h_c}{a} = \sin \beta.

Durch Auflösen beider Gleichungen nach h_c und Gleichsetzen folgt

b \nachhilfe \sin \alpha = h_c = a \nachhilfe \sin \beta

und damit

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}

Indem wir die Höhe auf a einzeichnen, erhalten wir auf gleiche Weise

\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

insgesamt also

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
Dreieck mit Umkreis

In der nebenstehenden Skizze ist der Umkreis eines Dreiecks mit Mittelpunkt M und Radius r eingezeichnet. Da die Höhe h in dem gleichschenkligen Dreieck mit Schenkellänge r die Basis c dieses Dreiecks halbiert, gilt

\frac{\frac{c}{2}}{r} = \sin \delta \quad \Leftrightarrow \quad \frac{c}{\sin \delta} = 2r.

Nach dem Umfangswinkelsatz ist der Mittelpunktswinkel 2 \nachhilfe \delta über der Kreissehne c aber doppelt so groß wie der Umfangswinkel \gamma, also 2 \nachhilfe \delta = 2 \nachhilfe \gamma und damit \delta = \gamma.

Insgesamt erhalten wir also

\frac{c}{\sin \gamma} = 2r

Der Quotient im Sinussatz ist damit der doppelte Umkreisradius, also der Umkreisdurchmesser.

Anwendungsbeispiel zum Sinussatz

kommt bald