Lage von Punkt und Gerade im Raum

Zur Prüfung, ob ein Punkt P auf der Geraden g liegt, werden die Koordinaten von P für die drei Koordinaten von \vec{x} eingesetzt. Die entstehende Vektorgleichung wird dann koordinatenweise geschrieben und jede der 3 Gleichungen nach r aufgelöst. Ergibt sich ein übereinstimmender Wert für r, dann liegt der Punkt auf der Geraden, sonst nicht. Ergibt sich in einer der 3 Gleichungen ein Widerspruch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Eine allgemeingültige Gleichung kann ignoriert werden.

Beispiel 1:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 1 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 1 = 0 + r \nachhilfe 2 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & r = 0{,}5 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Da r aber nicht gleichzeitig 3 und 0,5 und 1 sein kann, ist die Vektorgleichung unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.


Beispiel 2:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 0 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 0 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 0 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 0 = 0 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Die Gleichung 0 = 0 in der zweiten Zeile kann ignoriert werden, denn sie ist allgemeingültig. Da r aber nicht gleichzeitig 3 und 1 sein kann, ist die Vektorgleichung unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.


Beispiel 3:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 1 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 1 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 1 = 0 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Die Gleichung 1 = 0 in der zweiten Zeile ist unerfüllbar. Damit sind die anderen beiden Gleichungen schon uninteressant, die Vektorgleichung ist unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.

Beispiel 4:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 0 | 9) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 0 \\ 9} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 0 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 9 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 0 = 0 \\ \wedge & r = 3 \end{array}\right\}

Die Gleichung 0 = 0 in der zweiten Zeile kann ignoriert werden, denn sie ist allgemeingültig. Die beiden anderen Gleichungen fordern übereinstimmend r = 3. Damit ist die Vektorgleichung für r = 3 erfüllt und P liegt auf der Geraden.


Abstandsberechnung

Wenn in der Mathematik ein Abstand berechnet wird, dann ist das immer der kürzest mögliche. Zur Berechnung des Abstandes von P zur Geraden g gibt es zwei unterschiedliche Denkansätze, die jedoch auf die gleiche Rechnung hinauslaufen.

1. Möglichkeit:
Wir konstruieren eine Hilfsebene E in Normalenform, die durch P geht und senkrecht zur Geraden g liegt. Der Schnittpunkt von E mit g ist dann der Lotfusspunkt von P auf g, das heisst der Punkt auf g, der den kürzesten Abstand zu P hat. Der Abstand von g und P ist dann einfach der Abstand des Lotfusspunktes zu P.

Als Ortsvektor für E verwenden wir die Koordinaten von P. Als Normalenvektor für E verwenden wir den Richtungsvektor von g. Dann setzen wir g für \vec{x} in E ein, lösen auf und ermitteln den Parameterwert. Den Parameterwert setzen wir in g ein und erhalten den Lotfusspunkt. Dann berechnen wir durch Subtraktion der Koordinaten von L und P den Differenzvektor \overrightarrow{LP}. Schließlich bestimmen wir die Länge von \overrightarrow{LP}. Die folgende frei drehbare Szene zeigt die Situation.

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Beispiel:
Untersucht wird der Abstand des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}.
Die Hilfsebene lautet

E: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = 0

Einsetzen von g in E liefert

\begin{align*} & &\left[\mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\left[\mathe{-3 \\ -1 \\ -2} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\mathe{-3 \\ -1 \\ -2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} & = 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &-9 + 9r &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &r &= 1 \end{align*}

Nun setzen wir r = 1 in g ein und erhalten den Ortsvektor zum Lotfusspunkt

\overrightarrow{OL} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + 1 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = \mathe{3 \\ 2 \\ 5}.

Der Verbindungsvektor von L zu P lautet dann \overrightarrow{LP} = \mathe{5 \\ 1 \\ 5} - \mathe{3 \\ 2 \\ 5} = \mathe{2 \\ -1 \\ 0} und der Abstand von P und g ist

d = |\overrightarrow{LP}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}.

2. Möglichkeit:
Wir ermitteln durch Subtraktion die Schar aller Verbindungsvektoren von P zu g. Dazu ziehen wir von der rechten Seite der Geradengleichung den Ortsvektor zu P ab. Der kürzeste dieser Verbindungsvektoren muss senkrecht zu g stehen. Also setzen wir das Skalarprodukt der Differenz mit dem Richtungsvektor der Geraden g gleich Null. Daraus erhalten wir einen Wert für den Parameter der Geradengleichung. Die gesamte Rechnung ist wie oben im Beispiel ab "Einsetzen von g in E liefert". Nur das Aufstellen der Hilfsebene entfällt.