Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe
Die viereckige Pyramide

Ist die Grundfläche einer Pyramide ein Viereck, dann spricht man von einer viereckigen Pyramide. Die alten Ägypter haben solche Pyramiden als Grabstätten für ihre Könige gebaut. Das folgende Bild von Ricardo Liberato zeigt die berühmten Pyramiden von Gizeh in der Nähe von Kairo.

Foto der Pyramiden von Gizeh

Die folgenden 3D-Modelle können mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück. Gleichfarbige Strecken sind hier auch gleich lang, es sei denn sie sind ausdrücklich anders beschriftet.

Die rechteckige Pyramide

Das erste folgende 3D-Modell zeigt eine rechteckige Pyramide.

Vollbild

Das Volumen dieser Pyramide berechnet sich - wie für alle Spitzkörper - nach der Formel
V = \frac{1}{3} \nachhilfe G \nachhilfe H.

Dabei ist G die Grundfläche und H die Höhe des Körpers.

Zunächst betrachten wir den Spezialfall einer Pyramide, deren Grundfläche ein Rechteck mit den Kantenlängen a und b ist. Für das Volumen dieser Pyramide gilt dann

V = \frac{1}{3} \nachhilfe G \nachhilfe H = \frac{1}{3} \nachhilfe a \nachhilfe b \nachhilfe H.

Zur Berechnung der Oberfläche stellen wir fest, dass in diesem Fall gegenüber liegende Seitendreiecke kongruent (=deckungsgleich) sind. Für die entsprechenden Seitenhöhen gilt mit dem Satz des Pythagoras

h_a = \sqrt{H^2 + \left(\frac{1}{2}b\right)^2} = \sqrt{H^2 + \frac{1}{4}b^2}

und

h_b = \sqrt{H^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2} = \sqrt{H^2 + \frac{1}{4}a^2}.

Damit ist

O = a \nachhilfe b + 2 \nachhilfe \frac{a \nachhilfe h_a}{2} + 2 \nachhilfe \frac{b \nachhilfe h_b}{2} = a \nachhilfe b + a \nachhilfe h_a + b \nachhilfe h_b

und nach Einsetzen von h_a und h_b folgt

O = a \nachhilfe b + a \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{1}{4} b^2} + b \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{1}{4} a^2}.
Die quadratische Pyramide

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Vollbild

Diese Pyramide hat ein Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Für das Volumen dieser Pyramide gilt
V = \frac{1}{3} \nachhilfe G \nachhilfe H = \frac{1}{3} \nachhilfe a^2 \nachhilfe H.

Da bei quadratischer Grundfläche alle Seitendreiecke kongruent sind, folgt für die Oberfläche

O = a^2 + 4 \nachhilfe \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h = a^2 + 2 \nachhilfe a \nachhilfe h.

Mit dem Satz des Pythagoras sehen wir

h = \sqrt{H^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2}

und für die Oberfläche ergibt sich insgesamt

O = a^2 + 2 \nachhilfe a \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{1}{4}a^2}.