Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe
Die sechseckige Pyramide

Sechseckige Pyramiden haben als Grundfläche ein beliebiges Sechseck. In der Schule werden normalerweise nur sechseckige Pyramiden mit einem regelmäßigen Sechseck als Grundfläche behandelt.

Die unten dargestellte Pyramide hat ein regelmäßiges Sechseck als Grundfläche. Dieses 3D-Modell kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück. Alle Strecken, die in gleicher Farbe eingezeichnet sind, sind auch gleich lang.

Vollbild

Ein regelmäßiges Sechseck besteht - wie oben ersichtlich - aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a errechnet sich die Höhe h_g mit dem Satz des Pythagoras aus
h_g^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad h_g = \frac{\sqrt{3}}{2} \nachhilfe a

und die Fläche mit

A_D = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_g = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe \frac{\sqrt{3}}{2} \nachhilfe a = \frac{\sqrt{3}}{4} \nachhilfe a^2.

Für die Fläche des regelmäßigen Sechsecks mit Seitenlänge a gilt dann

A_6 = 6 \nachhilfe \frac{\sqrt{3}}{4} \nachhilfe a^2 = \frac{3 \nachhilfe \sqrt{3}}{2} \nachhilfe a^2.

Für das Volumen einer sechseckigen Pyramide mit Körperhöhe H erhalten wir so

V = \frac{1}{3} \nachhilfe G \nachhilfe H = \frac{1}{3} \nachhilfe \frac{3 \nachhilfe \sqrt{3}}{2} \nachhilfe a^2 \nachhilfe H = \frac{\sqrt{3}}{2} \nachhilfe a^2 \nachhilfe H.

Für die Berechnung der gesamten Oberfläche müssen wir zuerst die Höhe h_s der Seitendreiecke ermitteln. Das tun wir mit der oben berechneten Höhe h_g und der Körperhöhe H wieder über den Satz des Pythagoras:

H^2 + h_g^2 = h_s^2 \qquad \Longleftrightarrow \qquad h_s = \sqrt{H^2 + h_g^2} = \sqrt{H^2 + \frac{3}{4}a^2}

Jedes Seitendreieck hat damit die Fläche

A_s = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe h_s = \frac{1}{2} \nachhilfe a \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{3}{4}a^2}.

Damit ergibt sich für die gesamte Oberfläche dieser Pyramide

O = A_6 + 6 \nachhilfe A_s = \frac{3 \nachhilfe \sqrt{3}}{2} \nachhilfe a^2 + 3 \nachhilfe a \nachhilfe \sqrt{H^2 + \frac{3}{4}a^2}.