Mathe Nachhilfe in Düsseldorf - Lernstudio - Lernhilfen - Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

Lage von Gerade und Ebene

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Gerade, eine Ebene und ihren Schnittpunkt. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Vollbild

Zur Ermittlung der gegenseitigen Lage einer Geraden und einer Ebene bringen wir die Ebene zuerst in Normalenform oder Koordinatenform und setzen die Geradengleichung dann für \vec{x} oder für x_1, x_2, x_3 bzw. x, y, z in die Ebenengleichung ein. Nach Auflösen aller Klammern und Vereinfachen ergibt sich eine einfache Gleichung. Nun können wir 3 Fälle unterscheiden.

Die Gleichung ist allgemeingültig (z.B. 0 = 0 oder 3 = 3):
In diesem Fall liegt die Gerade in der Ebene.
Die Gleichung ist unerfüllbar (z.B. 0 = 1 oder 3 = 4):
In diesem Fall liegt die Gerade echt parallel zur Ebene.
Die Gleichung lässt sich nach dem Parameter der Geradengleichung auflösen:
In diesem Fall ermittle den Wert des Parameters und setze diesen dann in die Geradengleichung ein. Es ergibt sich der Schnittpunkt (auch Durchstoßpunkt genannt).

Abstand:
Wenn die Gerade in der Ebene liegt oder sie einen Schnittpunkt mit der Ebene hat, ist der Abstand natürlich Null. Liegt die Gerade echt parallel zur Ebene, dann ist ihr Abstand gleich dem Abstand irgendeines Punktes der Geraden zur Ebene. Diesen Fall Punkt-Ebene findest du hier.

Winkel:
Schneidet die Gerade die Ebene, ermittelst du ihren Schnittwinkel über den Winkel, den die Gerade mit dem Normalenvektor der Ebene einschließt. Da stets der kleinste Schnittwinkel gesucht ist, kommen Winkel über 90 Grad nicht in Frage. Daher kannst du in der Formel zur Winkelberechnung im Zähler den Betrag nehmen. Ist \vec{a} der Richtungsvektor der Geraden und \vec{n} der Normalenvektor der Ebene, dann errechnet sich der gesuchte Winkel \alpha also durch

\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \ast \vec{n}|}{|\vec{a}| \nachhilfe |\vec{n}|}.

Der Winkel \gamma zwischen der Geraden und der Ebene ergibt sich dann, indem wir den gefundenen Winkel \alpha von 90 Grad abziehen, also

\gamma = 90° - \alpha.

Statt den Winkel in diesen 2 Schritten zu berechnen, gibt es eine Abkürzung: Verwendest du anstelle des Kosinus in der Formel oben den Sinus, dann entfällt der zweite Schritt. Es gilt also

\sin \gamma = \cos (90°-\gamma) = \cos \alpha = \frac{|\vec{a} \ast \vec{n}|}{|\vec{a}| \nachhilfe |\vec{n}|}.

Beispiel 1:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E mit

g: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \qquad \text{und} \qquad E: \quad \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \vec{x} = 5.

Durch Einsetzen von g in E erhalten wir

\begin{align*} \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3}\right] &= 5 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \mathe{2 \\ 0 \\ 3} &= 5 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad 5 &= 5. \end{align*}

Diese Gleichung ist allgemeingültig, also liegt die Gerade in der Ebene.

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Gerade, die in einer Ebene liegt. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Vollbild

Beispiel 2:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E mit

g: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \qquad \text{und} \qquad E: \quad \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \vec{x} = 7.

Durch Einsetzen von g in E erhalten wir

\begin{align*} \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3}\right] &= 7 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{-3 \\ 1 \\ 2} \ast \mathe{2 \\ 0 \\ 3} &= 7 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad 5 &= 7. \end{align*}

Diese Gleichung ist unerfüllbar, also liegt die Gerade echt parallel zur Ebene.

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Gerade, die parallel zu einer Ebene liegt. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Vollbild

Beispiel 3:
Wir untersuchen die gegenseitige Lage der Geraden g und der Ebene E mit

g: \quad \vec{x} = \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} \qquad \text{und} \qquad E: \quad \mathe{2 \\ 1 \\ 1} \ast \vec{x} = 21.

Durch Einsetzen von g in E erhalten wir

\begin{align*} \mathe{2 \\ 1 \\ 1} \ast \left[\mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3}\right] &= 21 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad \mathe{2 \\ 1 \\ 1} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{2 \\ 1 \\ 1} \ast \mathe{2 \\ 0 \\ 3} &= 21 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad 7 + r \nachhilfe 7 &= 21 \\[10px] \Longleftrightarrow \qquad r &= 2 \\[10px] \end{align*}

Damit schneidet (durchstößt) die Gerade die Ebene. Wir setzen r = 2 in die Parameterform der Ebene ein und erhalten den Schnittpunkt mit

\vec{x_s} = \mathe{1 \\ 2 \\ 3} + 2 \nachhilfe \mathe{2 \\ 0 \\ 3} = \mathe{5 \\ 2 \\ 9}.

Wir berechnen noch den Schnittwinkel:

\begin{align*} \sin \gamma &= \frac{\left|\mathe{2 \\ 0 \\ 3} \ast \mathe{2 \\ 1 \\ 1}\right|}{\left|\mathe{2 \\ 0 \\ 3}\right| \nachhilfe \left|\mathe{2 \\ 1 \\ 1}\right|} \\[20px] &= \frac{7}{\sqrt{13} \nachhilfe \sqrt{6}} \\[20px] &\approx 0{,}7925939239 \\[20px] \gamma &\approx 52{,}43° \end{align*}