Mathematik Lernstudio
Dipl.-Math. W. Köpper
Mathematik verstehen in der Mathe Nachhilfe

Lage von Punkt und Ebene

Das folgende 3D-Modell enthält eine Ebene mit Orts- und Richtungsvektoren sowie einem Normalenvektor und einen Punkt, der nicht in der Ebene liegt. Sein Abstand zur Ebene ist in blau eingezeichnet. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Vollbild

Wir betrachten nur den Fall, dass die Ebene E in Normalenform oder Koordinatenform gegeben ist. Falls sie in Parameterform gegeben sein sollte, forme sie zuerst in Koordinatenform um.

Ob ein gegebener Punkt P in der Ebene E liegt, erfahren wir sofort durch Einsetzen der Punktkoordinaten in \vec{x} in der Normalenform oder in x_1, x_2, x_3 \text{ bzw. } x, y, z in der Koordinatenform von E.

Den Abstand können wir auf 2 Wegen bestimmen:

  1. Über die Hessesche Normalenform:
    Dazu bringen wir in der Normalenform oder in der Koordinatenform alles auf die linke Seite, so dass rechts Null steht, dividieren dann durch die Länge des Normalenvektors und setzen für \vec{x} die Koordinaten von P ein. Nach Ausrechnen der linken Seite liefert der Betrag den gesuchten Abstand.
  2. Mit dem Lotfusspunktverfahren:
    Dazu konstruieren wir eine Hilfsgerade g (auch Lotgerade genannt), die durch P geht und senkrecht zur Ebene E steht. Der Schnittpunkt von g mit E ist der Lotfusspunkt L. Der Abstand von P und E ergibt sich dann aus dem Abstand von P und L.

Beispiel 1:
Wir suchen den Abstand des Punktes P(2 | -5 | -1) zur Ebene

E: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = 0.

Die Länge des Normalenvektors beträgt

d = \left|\mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3

und

d = \frac{1}{3} \nachhilfe \left[\mathe{2 \\ -5 \\ -1} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = -9.

Der Abstand beträgt daher 9 LE.



Beispiel 2:
Wir suchen den Abstand des Punktes P(2 | -5 | -1) zur Ebene

E: \quad \left[\vec{x} - \mathe{7 \\ 0 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = 0.

Aus dem Ortsvektor zu P und dem Normalenvektor von E stellen wir die Lotgerade

g_L: \quad \vec{x} = \mathe{2 \\ -5 \\ -1} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}

auf und setzen diese in die Ebene E ein, um den Lotfusspunkt zu ermitteln.

\begin{align*} &&\left[\mathe{2 \\ -5 \\ -1} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} - \mathe{7 \\ 0 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\left[\mathe{-5 \\ -5 \\ -6} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\mathe{-5 \\ -5 \\ -6} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &-27 + r \nachhilfe 9 &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &r &= 3 \end{align*}

Einsetzen von r = 3 in die Lotgerade g_L liefert

\overrightarrow{OL} = \mathe{2 \\ -5 \\ -1} + 3 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = \mathe{5 \\ 1 \\ 5}

und damit den Lotfusspunkt L(5 | 1 | 5).
Den Differenzvektor \overrightarrow{PL} berechnen wir geschickt wie folgt

\begin{align*} \overrightarrow{PL} &= \overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OP} \\[20px] &= \mathe{2 \\ -5 \\ -1} + 3 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} - \mathe{2 \\ -5 \\ -1} \\[20px] &= 3 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \\[20px] &= \mathe{3 \\ 6 \\ 6}. \end{align*}

Dessen Länge berechnen wir wiederum geschickt:

\begin{align*} |\overrightarrow{PL}| &= \left|3 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right| \\[20px] &= 3 \nachhilfe \left|\mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right| \\[20px] &= 3 \nachhilfe \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \\[20px] &= 9. \end{align*}

Der Abstand beträgt daher 9 LE.
Beachte, dass bei der Berechnung von \overrightarrow{PL} nur der Faktor r und der Richtungsvektor der Lotgeraden übrig bleiben. Das verschafft dir bei unbequemen Zahlen einen erheblichen Rechenvorteil. Beachte weiter, dass wir bei der Berechnung des Betrages den Faktor r vor die Betragstriche ziehen.

Abschliessend können wir festhalten, dass der Weg über das Lotfusspunktverfahren zwar länger ist, aber dafür auch einen wesentlichen Vorteil hat. Wir erhalten nämlich den Lotfusspunkt, der in vielen Anwendungsaufgaben eine wichtige Rolle spielt.