Mathe Nachhilfe in Düsseldorf - Gegenseitige Lage von Punkt und Gerade

Lage von Punkt und Gerade im Raum

Das folgende 3D-Modell enthält eine Gerade mit Orts- und Richtungsvektor und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Sein Abstand zur Geraden ist in blau eingezeichnet. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Vollbild

Zur Prüfung, ob ein Punkt P auf der Geraden g liegt, werden die Koordinaten von P für die drei Koordinaten von \vec{x} eingesetzt. Die entstehende Vektorgleichung wird dann koordinatenweise geschrieben und jede der 3 Gleichungen nach r aufgelöst. Ergibt sich ein übereinstimmender Wert für r, dann liegt der Punkt auf der Geraden, sonst nicht. Ergibt sich in einer der 3 Gleichungen ein Widerspruch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Eine allgemeingültige Gleichung kann ignoriert werden.

Beispiel 1:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 1 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 1 = 0 + r \nachhilfe 2 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & r = 0{,}5 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Da r aber nicht gleichzeitig 3 und 0,5 und 1 sein kann, ist die Vektorgleichung unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.

Beispiel 2:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 0 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 0 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 0 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 0 = 0 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Die Gleichung 0 = 0 in der zweiten Zeile kann ignoriert werden, denn sie ist allgemeingültig. Da r aber nicht gleichzeitig 3 und 1 sein kann, ist die Vektorgleichung unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.

Beispiel 3:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 1 \\ 5} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 1 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 5 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 1 = 0 \\ \wedge & r = 1 \end{array}\right\}

Die Gleichung 1 = 0 in der zweiten Zeile ist unerfüllbar. Damit sind die anderen beiden Gleichungen schon uninteressant, die Vektorgleichung ist unerfüllbar und P liegt nicht auf der Geraden.

Beispiel 4:
Untersucht wird die Lage des Punktes P (5 | 0 | 9) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2}.
Einsetzen des Ortsvektors zu P für \vec{x} in die Gerade ergibt

\mathe{5 \\ 0 \\ 9} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 0 \\ 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & 5 = 2 + r \nachhilfe 1 \\ \wedge & 0 = 0 + r \nachhilfe 0 \\ \wedge & 9 = 3 + r \nachhilfe 2 \end{array}\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{ll} & r = 3 \\ \wedge & 0 = 0 \\ \wedge & r = 3 \end{array}\right\}

Die Gleichung 0 = 0 in der zweiten Zeile kann ignoriert werden, denn sie ist allgemeingültig. Die beiden anderen Gleichungen fordern übereinstimmend r = 3. Damit ist die Vektorgleichung für r = 3 erfüllt und P liegt auf der Geraden.

Abstandsberechnung

Wenn in der Mathematik ein Abstand berechnet wird, dann ist das immer der kürzest mögliche. Zur Berechnung des Abstandes von P zur Geraden g gibt es zwei unterschiedliche Denkansätze, die jedoch auf die gleiche Rechnung hinauslaufen.

1. Möglichkeit:
Wir konstruieren eine Hilfsebene E in Normalenform, die durch P geht und senkrecht zur Geraden g liegt. Der Schnittpunkt von E mit g ist dann der Lotfusspunkt von P auf g, das heisst der Punkt auf g, der den kürzesten Abstand zu P hat. Der Abstand von g und P ist dann einfach der Abstand des Lotfusspunktes zu P.

Als Ortsvektor für E verwenden wir die Koordinaten von P. Als Normalenvektor für E verwenden wir den Richtungsvektor von g. Dann setzen wir g für \vec{x} in E ein, lösen auf und ermitteln den Parameterwert. Den Parameterwert setzen wir in g ein und erhalten den Lotfusspunkt. Dann berechnen wir durch Subtraktion der Koordinaten von L und P den Differenzvektor \overrightarrow{LP}. Schließlich bestimmen wir die Länge von \overrightarrow{LP}.

Beispiel:
Untersucht wird der Abstand des Punktes P (5 | 1 | 5) zur Geraden \; g: \; \vec{x} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}.
Die Hilfsebene lautet

E: \quad \left[\vec{x} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = 0

Einsetzen von g in E liefert

\begin{align*} & &\left[\mathe{2 \\ 0 \\ 3} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} - \mathe{5 \\ 1 \\ 5}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\left[\mathe{-3 \\ -1 \\ -2} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2}\right] \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &\mathe{-3 \\ -1 \\ -2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} + r \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} \ast \mathe{1 \\ 2 \\ 2} & = 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &-9 + 9r &= 0 \\[20px] &\Longleftrightarrow &r &= 1 \end{align*}

Nun setzen wir r = 1 in g ein und erhalten den Ortsvektor zum Lotfusspunkt

\overrightarrow{OL} = \mathe{2 \\ 0 \\ 3} + 1 \nachhilfe \mathe{1 \\ 2 \\ 2} = \mathe{3 \\ 2 \\ 5}.

Der Verbindungsvektor von L zu P lautet dann \overrightarrow{LP} = \mathe{5 \\ 1 \\ 5} - \mathe{3 \\ 2 \\ 5} = \mathe{2 \\ -1 \\ 0} und der Abstand von P und g ist

d = |\overrightarrow{LP}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}.

2. Möglichkeit:
Wir ermitteln durch Subtraktion die Schar aller Verbindungsvektoren von P zu g. Dazu ziehen wir von der rechten Seite der Geradengleichung den Ortsvektor zu P ab. Der kürzeste dieser Verbindungsvektoren muss senkrecht zu g stehen. Also setzen wir das Skalarprodukt der Differenz mit dem Richtungsvektor der Geraden g gleich Null. Daraus erhalten wir einen Wert für den Parameter der Geradengleichung. Die gesamte Rechnung ist wie oben im Beispiel ab "Einsetzen von g in E liefert". Nur das Aufstellen der Hilfsebene entfällt.