Vektorgeometrie

Auf den nächsten Seiten stellen wir Erklärungen und Beispiele für die Untersuchung der gegenseitigen Lage und Berechnung von Abständen und Winkeln zwischen Ebenen, Geraden und Punkten bereit. Hier erläutern wir kurz Parameterformen von Geraden und Ebenen und Normalenformen von Ebenen im Raum.

Geraden in Parameterform

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Gerade mit Ortsvektor in rot und Richtungsvektor in grün eingezeichnet. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Eine Gerade in Parameterform wird durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor festgelegt. Der Ortsvektor zeigt dabei auf einen beliebigen Punkt der Geraden und bestimmt damit ihre Position. Der Richtungsvektor gibt die Richtung an, in der die Gerade verläuft. Es hat keinen Einfluß auf die Gerade, auf welchen ihrer Punkte der Ortsvektor zeigt und es spielt auch keine Rolle, wie lang der Richtungsvektor ist. Nur der Nullvektor ist als Richtungsvektor ungeeignet. Diese Unbestimmtheit hat weitreichende Folgen: Hast du eine beliebige Gerade vorgegeben, so darfst du den Richtungsvektor mit einer beliebigen reellen Zahl (außer Null) multiplizieren, ohne dadurch etwas an der Lage der Geraden zu verändern. Außerdem darfst du zum Ortsvektor ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors addieren (oder subtrahieren), ohne dass sich die Lage der Geraden verändert. Hast du also eine Gerade mit unbequemen Zahlen im Orts- oder Richtungsvektor, so kannst du diese Möglichkeiten nutzen, um dir bequemere Zahlen zu verschaffen. Ein Beispiel soll das verdeutlichen.

Beispiel:
Gegeben ist die Gerade

Wir multiplizieren den Richtungsvektor mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der 3 Nenner, also mit 78.

Nun ziehen wir vom Ortsvektor noch einmal den Richtungsvektor ab und erhalten:

Bei solchen Umformungen solltest du den Buchstaben für den Parameter ändern. Die neue Parameterform beschreibt die selbe Gerade g. Du kannst sie also ohne Bedenken in allen Rechnungen als Ersatz für die ursprüngliche Darstellung von g benutzen. Um Fehler zu vermeiden solltest du allerdings nicht innerhalb der selben Aufgabe mit beiden Darstellungen gemischt arbeiten.

Ebenen in Parameterform

Das folgende 3D-Modell zeigt eine Ebene mit Ortsvektor in rot, Richtungsvektoren in grün und einem Normalenvektor in blau eingezeichnet. Die Szene kann mit der Maus gedreht (linke Maustaste) und verschoben werden (rechte Maustaste). Durch Scrollen auf dem Bild wird es vergrößert oder verkleinert. Mit den Tasten x, y und z bzw. Shift-x = X, Shift-y = Y, Shift-z = Z wird eine dauernde Rotation um die entsprechende Achse begonnen. Mehrmaliges Drücken beschleunigt / verlangsamt diese Rotation. Die Taste s stoppt alle Rotationen und die Taste r setzt das Bild auf die ursprüngliche Ansicht zurück.

Eine Ebene in Parameterform wird durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren festgelegt. Der Ortsvektor zeigt dabei auf einen beliebigen Punkt der Ebene und bestimmt damit genau wie bei einer Geraden ihre Position im Raum. Die Richtungsvektoren geben die Lage der Ebene an. Es hat keinen Einfluß auf die Ebene, auf welchen ihrer Punkte der Ortsvektor zeigt und es spielt auch keine Rolle, wie lang die Richtungsvektoren sind. Wichtig ist allerdings, dass die beiden Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind. Du darfst folgende Änderungen an der Parameterform vornehmen, ohne damit die Ebene zu verändern:

1. Du darfst jeden Richtungsvektor beliebig vervielfachen (aber nicht mit Null).
2. Du darfst zu jedem der beiden Richtungsvektoren ein beliebiges Vielfaches des anderen Richtungsvektors addieren.
3. Du darfst zum Ortsvektor ein beliebiges Vielfaches jedes der beiden Richtungsvektoren addieren.

Allerdings haben diese Möglichkeiten für Ebenen in der Praxis weit weniger Bedeutung als für Geraden, da es ohnehin oft einfacher ist, die Ebene sofort in die Normalenform umzuwandeln.

Ebenen in Normalenform und Koordinatenform

Im dreidimensionalen Raum beschreibt eine Normalenform eine Ebene mithilfe eines Ortsvektors und eines sogenannten Normalenvektors. Der Ortsvektor \vec{x_0} zeigt auf einen beliebigen Punkt der Ebene (den nennt man manchmal Aufpunkt) und der Normalenvektor \vec{n} steht senkrecht auf der Ebene. Ein beliebiger Punkt liegt nun genau dann in der Ebene, wenn der Verbindungsvektor zwischen ihm und dem Aufpunkt in der Ebene liegt, also senkrecht zum Normalenvektor steht. Diese Bedingung läßt sich mathematisch so ausdrücken:

Auflösen der Klammern und Umformen ergibt

Diese Form nennen wir vereinfachte Normalenform. Sobald das Skalarprodukt auf der rechten Seite ausgerechnet wurde und der Ortsvektor damit verschwunden ist, kann sie zur Koordinatenform umgeschrieben werden. Ein Beispiel: